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级数双子星泰勒和麦克劳林-数学史话

时间:2018-05-21 10:55来源:知行网www.zhixing123.cn 编辑:麦田守望者

布鲁克·泰勒于1685年出生在英国的埃德蒙顿,1701年进入剑桥大学学习,1714年获得法学博士学位。不过他在大学期间也学习数学,师从梅钦(就是发明梅钦公式的那个人,梅钦公式是用来计算π值的实际可用的公式)。1712年泰勒被选为英国皇家学会会员,并进入了仲裁牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权的委员会,后来因为健康原因离职了。

数学史话之级数双子星泰勒和麦克劳林

布鲁克·泰勒

泰勒最早提出了"马步遍历棋盘问题",即在64格的棋盘上,每格只跳一次,怎么走完整个棋盘。这个问题最终由欧拉进行了科学的处理。1714年到1719年,泰勒完成了两部极其重要的数学著作:《正和反的增量法》和《直线透视》。而泰勒真正闻名于世的就是他在微积分学中的将函数展开成无穷级数的定理:函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值和各阶导数值组成的无穷级数表现出来:

数学史话之级数双子星泰勒和麦克劳林

泰勒级数

然而,在半个世纪里,数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值,直到拉格朗日才真正地发现了它的价值所在。拉格朗日认为这个定理是微积分的基本定理,并且给出了它的余项表达式(拉格朗日余项,就是上面那个公式里面等号前面的那三个点…),而泰勒定理的严格证明是由一个世纪之后的柯西来完成的。

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拉格朗日余项

泰勒的著作《正和反的增量法》为高等数学添加了一个新的分支,今天这个方法被称为有限差分方法。它使任何单变量函数都可展成幂级数;同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒在书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用,其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式,开创了研究弦振问题之先河。此外,此书还包括了他在数学上的其他创造性工作,如论述常微分方程的奇异解,曲率问题之研究等。

泰勒于1731年就不幸离世了。泰勒对数学的贡献要比一条以他命名的定理大得多,但是由于不喜欢明确和完整地把他的思路写下来,因此他的许多证明没有遗留下来。

跟泰勒一样,科林·麦克劳林也是一名英国数学家,于1698年出生在苏格兰。麦克劳林在大学期间一开始是攻读神学的,不过由于对数学的爱好,后来转攻数学。19岁时担任阿伯丁大学的数学教授(想想咱们19岁的时候在干什么),并在21岁时当选为英国皇家学会会员。

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麦克劳林

那年他结识了牛顿,并成为了牛顿的学生。当年他就发表了第一本重要著作《构造几何》,在这本书中描述了作圆锥曲线的一些新的巧妙方法,精辟地讨论了圆锥曲线及高次平面曲线的种种性质。1742年撰写的《流数论》以作为基本工具,是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书。他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说,还把级数作为求积分的方法,并独立于柯西以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的麦克劳林级数展开式,并用待定系数法给予证明(麦克劳林公式是泰勒公式(在x0=0 ,记ξ=θx(0<θ<1))的一种特殊形式)。他在代数学中的主要贡献是在《代数论》中,创立了用行列式的方法求解多个未知数联立线性方程组。后来由另一位数学家克莱默又重新发现了这个法则,所以现今称之为克莱默法则。

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一些常用的麦克劳林级数展开公式

麦克劳林终生不忘牛顿对他的栽培,并为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。但是跟泰勒一样,他也在创作的盛年就去世了,只活了48岁。死后在他的墓碑上刻有"曾蒙牛顿推荐"几个大字,以表达他对牛顿的感激之情。

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