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代数奠基人丢番图-数学史话

时间:2018-05-18 23:35来源:知行网www.zhixing123.cn 编辑:麦田守望者

古希腊数学自从阿基米德和阿波罗尼奥斯之后,由于亚历山大城进入罗马人统治时期,虽然古希腊的文化传统未被破坏,学者还可继续研究,然而已没有前期那种磅礴的气势,古希腊数学进入了它的没落期。虽然还有几位优秀的数学家出现,但是整体上已经开始衰弱,并且逐渐处于停滞状态。今天科普君要讲的就是其中的一位代数学之父--据说韦达也有这个称号--丢番图。

数学史话之代数奠基人丢番图

丢番图

对于丢番图的生平事迹,人们知道的很少。据推断和计算而知,丢番图是约公元246-300年古希腊亚历山大后期的重要学者和数学家。在一本《希腊诗文选》中记载到亚历山大时期的丢番图对代数学的发展起到了极其重要的作用,对后来的数论学者有很深的影响。丢番图被认为是代数学的创始人之一,对算术理论有深入研究,他完全脱离了几何形式,在希腊数学中独树一帜。

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代数

丢番图最著名的应该就是他的墓碑了,作为一位代数学的创始人,他的墓碑也并没有让人省心。他的墓碑上的内容是这样的:坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予他的童年占六分之一,又过了十二分之一,两颊长胡,再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子,可怜迟来的儿子,享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补,又过了四年,他也走完了人生的旅途。终于告别数学,离开了人世。你算出丢番图的年纪了吗?

丢番图的主要著作是《算术》,在所有亚历山大后期的数学著作中,古典希腊几何传统最离经叛道的一本要属丢番图的《算术》,这部具有东方的色彩的著作,用纯分析的角度处理数论问题,可以看作是希腊算术与代数成就的最高标志。

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算术

《算术》是讲数的理论的,但大部分内容可以划入代数的范围。它的特点是完全脱离了几何的形式,与欧几里得时代的经典大异其趣。另一个特点是创用了一套缩写符号,如未知量、未知量的各次幂等都用特殊符号来表示。在丢番图以前,所有的问题都是用文字来叙述。丢番图创用的这些记号,虽然还只具缩写性质,却不失为代数符号的滥觞。有人称丢番图类型的代数为"简写代数"。是真正符号代数出现之前的一个重要阶段,这在代数发展史上是一个巨大的进步。

《算术》传到欧洲比较晚。16世纪,胥兰德翻译出版了拉丁文 《算术》。《算术》中最著名的一个不定方程是第2卷的问题8。丢番图的表述是:将一个已知的平方数分为两个平方数。这问题之所以有名,主要是因为17世纪法国数学家费马在阅读巴歇校订的拉丁文本《算术》时对该问题所做的边注,引出了后来举世瞩目的"费马大定理"。《算术》这本书也使得费马走向了近代数论之路,这也说明了丢番图的《算术》这部著作对后世的深刻影响。

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费马大定理(表述:对于任意n≥3,方程x^n+y^n=z^n无整数解)

当然《算术》也表现出希腊代数的一些弱点,丢番图解答代数问题是依靠高度的技巧,方法上缺乏一般性,基本上是一题一法。所以有人说:研究了丢番图的一百道题后,还不知道怎样去解第一百零一道题。

希腊数学自毕达哥拉斯学派后,兴趣中心在几何,他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性,代数也披上了几何的外衣。一切代数问题,甚至简单的一次方程的求解,也都纳入了几何的模式之中。直到丢番图,才把代数解放出来,摆脱了几何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题,而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性,在希腊数学中独树一帜。

丢番图《算术》特别以不定方程的求解而著称。所谓"不定方程",是指未知数个数多于方程个数的代数方程(组),它是数论的一个分支。这类问题在丢番图以前已有人接触过,如阿基米德"牛群问题",就涉及含8个未知数的7个方程的求解。但丢番图是第一个对不定方程问题作广泛、深入研究的数学家,以致今天我们常常把求整系数不定方程的整数解的问题叫"丢番图问题"或"丢番图分析",而将不定方程称之为"丢番图方程"。

丢番图方程是数论中最古老的一个分支,其内容极其丰富,与代数数论、代数几何、组合数学等有密切的联系。它的分类基本上是由方程的形式决定的,例如,可分为一次方程、二次方程、三次方程、高次方程、指数方程和一些特殊类型的方程,以及和许多学科交叉渗透产生的新的类型。

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